Ikki parabola orasidagi masofani topish

Ikki parabola orasidagi masofani topish Ma’lumki, ayrim masalalar jumladan tekislikdagi funksiyalar ya’ni, ikki parabola orasidagi masofani topishda ba’zi qiyinchiliklarga duch kelamiz, ba’zan umuman topib bo’lmaydi degan xulosaga kelamiz. Biz ushbu maqolada ikki parabola orasidagi eng qisqa masofani topib, tahlil qilib o’tamiz. 1-masala. 1) y=kx+b tog’ri chiziq va unda yotmaydigan M=(x_(0,) y_0) nuqta berilgan bo’lsin , tog’ri chiziqdan M nuqtagacha bo’lgan masofani topamiz. Geometriyadan ma’lumki , nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan eng qisqa masofa perpendikulyardir. y=kx+b . M=(x_(0,) y_0) (x,y) to’g’ri chiziq nuqtasi bo’lsin. U holda masala 〖(y-y_0)〗^2+〖(x-x_0)〗^2=d^2 , y=kx+b ni yuqoridagi tenglamani o’rniga qo’yib, f(x)=〖(kx+b-y_0)〗^2+〖(x-x_0)〗^2 funksiyaning eng kichik qiymatini topishga keltiramiz va funksiyaning hosilasidan foydalanib , f^` (x)=2k(kx+b-y_0 )+2(x-x_0 )=0 (1) k(kx+b-y_0 )+2(x-x_0 )=0 Faraz qilaylik, to’g’ri chiziqdan olingan (x_1,y_1) nuqta (x_0,y_0 ) ga eng yaqin nuqta bo’lsa, u holda (x_1,y_1) nuqta (1) ni qanoatlantirsin: y_1=kx_1+b k(y_1-y_0 )+(x_1-x_0 )=0 k•(y_1-y_0)/(x_1-x_0 )=-1 k_1=(y_1-y_0)/(x_1-x_0 ) son (x_(1,) y_1) va (x_(0,) y_0) nuqtadan o’tadigan to’g’ri chiziq burchak koeffitsiyenti. Demak, k_1•k=-1 ekanligidan bu to’g’ri chiziqlar perpendikulyarligi kelib chiqadi va quyidagiga teng: d=|kx_0+b-y_0 |/√(1+k^2 ) 2) y=f(x) funksiya (egri chiziq) va unda yotmagan N(x_(1,) y_1) nuqta berilgan. Shu egri chiziqqa M(x_(0,) y_0) nuqtaga eng yaqin nuqta N(x_(1,) y_1) bo’lsin. U holda MN to’g’ri chiziq egri chiziqning N(x_(1,) y_1) nuqtasida o’tkazilgan urinmaga perpendikulyar ekanligini ko’rsating. y=f(x) . N(x_(1,) y_1) g(x)=〖(f(x)-y_0)〗^2+〖(x-x_0)〗^2 (2) g^` (x)=2(f(x)-y_0)f^` (x)+2(x-x_0 )=0 (x_(1,) y_1) 2(y_1-y_0 ) 〖•f〗^` (x)=-2(x_1-x_0 ) f^` (x)•(y_1-y_0)/(x_1-x_0 )=-1 f^` (x)=k k〖•k〗_1=-1 3) Bizga ikki parabola berilgan bo’lsin y=a_1 x^2+b_1 x+c_1 ; y=a_2 x^2+b_2 x+c_2 y ̅=a_2 z^2+b_2 z+c_2 〖 (y-y ̅)〗^2+〖(x-z)〗^2=d^2 f(x,z)=〖〖(a〗_1 x^2+b_1 x+c_1-a_2 z^2-b_2 z-c_2)〗^2+〖(x-z)〗^2. f_x^`=0 〖 f〗_z^`=0 f_x^`=2〖(a〗_1 x^2+b_1 x+c_1-a_2 z^2-b_2 z-c_2)(2a_1 x+b_1 )+(x-z)=0 (3) f_z^`=〖-2(a〗_1 x^2+b_1 x+c_1-a_2 z^2-b_2 z-c_2)(2a_2 z+b_2 )-(x-z)=0 (4) 2〖(a〗_1 x^2+b_1 x+c_1-a_2 z^2-b_2 z-c_2)( 2a_1 x+b_1-(2a_2 z+b_2 ))=0 k_1=k_2 2a_1 x+b_1=2a_2 z+b_2 z=(2a_1 x+b_1-b_2)/(2a_2 ) ni (3) ga qo’yib x ni topib uning yordamida, y ni ham topamiz. Misol. y=-3x^2+8x-9 y=x^2+8x+13 funksiyalar grafiklari orasidagi eng qisqa masofani toping. (〖-3x^2+8x-9-y^2-8y-13)〗^2+〖(x-y)〗^2=F (4) F_x^`=2(-3x^2+8x-y^2-8y-22)(-6x+8)+2(x-y)=0 (5) F_y^`=2(-3x^2+8x-y^2-8y-22)(-2y-8)-2(x-y)=0 (6) 2(-3x^2+8x-y^2-8y-22)(-6x+8-2y-8)=0 2(-3x^2+8x-y^2-8y-22)(-6x-2y)=0 6x+2y=0 y=-3x ekanligidan, o’rniga qo’yib quyidagini topamiz: 2(-3x^2+8x-〖9x〗^2-24x-22)(-6x+8)+2(x+3x)=0 -4(-12x^2+32x-22)(-3x+4)+8x=0 8(6x^2-16x+11)(-3x+4)+8x=0 (6x^2-16x+11)(-3x+4)+x=0 -18x^3+48x^2-33x+24x^2-64x+44+x=0 -18x^3+72x^2-98x+44=0 18x^3-72x^2+98x-44=0 9x^3-36x^2+49x-22=0 x=1 yagona yechim ekanligidan, y=-3 va (4) ga qo’yib, √F=2√5 kelib chiqadi. Demak, yuqoridagi berilgan ikki parabola orasidagi eng qisqa masofa: d=2√5 ekan.