DIFFERISIAL TENGLAMALAR

Diffårånsiàl tånglàmà hàqidà tushunchà. Diffårånsiàl tånglàmàlàrgà îlib kåluvchi màsàlàlàr. Biz shu pàytgàchà nîmà’lumlàrning qiymàti sînlàr bo`lgàn tånglàmàlàr bilàn ish ko`rgàn edik. Ìàtåmàtikàning ko`pginà tàtbiqiy màsàlàlàri o`rgànilàyotgàn jàràyonlàrni ifîdàlîvchi nîmà’lum funksiyalàr và ulàrning hîsilàlàrini bîg`lîvchi munîsàbàtlàrgà kålàdi. Bundày munîsàbàtlàrni ifîdàlîvchi tånglàmàlàr diffårånsiàl tånglàmàlàr dåyilàdi. Àgàr bundày tånglàmàdàgi nîmà’lum funksiya bir àrgumåntli bo`lsà, tånglàmàni îddiy diffårånsiàl tånglàmà dåb àtàymiz. Biz àsîsàn îddiy diffårånsiàl tånglàmàlàr bilàn shug`ullànàmiz. Ìisî l . Àgàr v(t) tåzlik mà’lum bo`lsà, s(t) yo`lni tîpish màsàlàsi s ¢(t) = v(t) diffårånsiàl tånglàmàni yechishgà kålàdi. Jumlàdàn, v(t) = 8t - 5 bo`lsà, u hîldà s(t) ni tîpish màsàlàsi s ¢(t) = 8t - 5 diffårånsiàl tånglàmàni yechishgà kåltirilàdi. Umumàn, fizikà, tåõnikà, biîlîgiya, kimyo, tibbiyot và iqtisîdiyotning ko`pginà àmàliy màsàlàlàri y ¢(t) = k × y(t) (1) diffårånsiàl tånglàmàni qànîàtlàntiruvchi y(t) funksiyani tîpishgà kålàdi, bu yerdà k – bårilgàn birîr o`zgàrmàs sîn. (1) tånglàmàning yechimlàri esà y (t) = cekx ko`rinishdàgi hàr qàndày funksiyadàn ibîràt ekànligini ko`rish qiyin emàs. c o`zgàrmàs iõtiyoriy sîn, shungà ko`rà (1) diffårånsiàl tånglàmàning yechimi chåksiz ko`p. Ìis î l l à r : 1. Bîshlàng`ich tåmpåràturàsi Ò gà tång bo`lgàn jism tåmpåràturàsi 0 gà tång bo`lgàn muhitgà jîylàshtirilgàn bo`lsin. Òåmpåràturàning Dt vàqt ichidà DT qàdàr pàsàyishi DT = -kT × Dt bilàn ifîdàlànàdi, bundà k = const, DT = T(t + Dt) - T(t). 0 lim t T t T D ® D D = ¢ munîsàbàtdàn, Ò ¢(t) = -kT(t) tånglàmà hîsil bo`làdi, undà Ò ¢(t) 271 hîsilà tåmpåràturà pàsàyishining îniy tåzligini ifîdàlàydi. Birinchi tàrtibli diffårånsiàl tånglàmà hîsil bo`ldi. 2. Nyutînning ikkinchi qînuni bo`yichà mîddiy nuqtàning t vàqt mîmåntidàgi tåzlànishi F m a = gà tång, bundà F – nuqtàgà tà’sir etàyotgàn kuch, m – nuqtà màssàsi. a tåzlànish õ nuqtà kîîrdinàtàsining vàqt bo`yichà îlingàn ikkinchi tàrtibli hîsilàsigà tång ekànligidàn ushbu ikkinchi tàrtibli diffårånsiàl tånglàmàgà egà bo`làmiz: F(t) = mx ¢¢(t). (2) 3. Ìuhitning undà hàràkàt qilàyotgàn nuqtàgà F qàrshilik kuchi nuqtàning v tåzligigà prîpîrsiînàl và shu tåzlikkà qàrshi yo`nàlgàn, ya’ni F(t) = -kv(t) yoki (2) tånglikkà àsîsàn mx ¢¢(t) = -kv(t), yoki v(t) = x ¢(t) bo`lgànligidàn mx ¢¢(t) = -kx ¢(t) và shu kàbi x ¢¢(t) = =(x ¢(t))¢ = v ¢(t) bo`lgànligidàn mv¢(t) = -kv(t). 4. m màssàli nuqtà F tîrtilish kuchining tà’siri îstidà yergà tushmîqdà, ya’ni F t M m x t ( ) ( ) = -g × 2 , bundà g – gràvitàtsiya dîimiysi, Ì – Yer màssàsi, x – nuqtàdàn Yer màrkàzigàchà màsîfà (tånglikdàgi „minus“ ishîràsi F kuch kîîrdinàtàlàr o`qidà mànfiy yo`nàlgànligi sàbàbli qo`yilgàn). Òånglikni (2) munîsàbàtdàn fîydàlànib, 2 ( ) ( ) M m x t mx ² t = -g × ko`rinishdà, yoki x = R và F = -mg ekànligidàn 2 M m R g × = mg yoki gM = R2 g bo`lgàni uchun 2 2 ( ) ( ) R g x t x t × ² = - ko`rinishdà yozish mumkin. 5. Nuqtà uning muvîzànàt hîlàtidàn chåtlànishigà prîpîrsiînàl và shu hîlàt tîmîn yo`nàlgàn kuch tà’siri îstidà hàràkàt qilmîqdà. Ìuvîzànàt hîlàtini kîîrdinàtàlàr bîshi sifàtidà qàbul qilàmiz. U hîldà F(t) = -kx(t) bo`làdi và (2) tånglik mx ¢¢(t) = -kx(t) ko`rinishgà kålàdi. 6. Ràdiîàktiv pàrchàlànish màsàlàsi. Ràdiîàktiv mîddà màssàsi o`zgàrishining îniy tåzligi bårilgàn vàqt mîmåntidà shu màssàgà prîpîrsiînàl, ya’ni v(t) = -km(t) (minus ishîràsining qo`yilishi 272 màssàning kàmàyib bîrishi sàbàbidàn). Låkin v(t) = m¢(t) bo`lgànligi uchun tånglàmà quyidàgichà yozilàdi: m ¢(t) = -km(t). Bu yerdà k – mîddàning ràdiîàktivligigà bîg`liq o`zgàrmàs sîn. Bu tånglàmàning yechimlàri m(t) = ce-kt funksiyalàrdàn ibîràt bo`làdi. Àgàr vàqtning bîshlàng`ich t = 0 mîmåntidà ràdiîàktiv mîddàning màssàsi m(0) = m0 bo`lsà, u hîldà m(0) = ce-0 = c bo`làdi. Bundàn: m(t) = m0e-kt (3) ekànligi kålib chiqàdi. Ràdiîàktiv mîddàning màssàsi ikki màrtà kàmàyadigàn vàqt îràlig`i Ò ràdiîàktiv mîddàning yarim yemirilish dàvri dåyilàdi. Àgàr bizgà Ò mà’lum bo`lsà, k ni tîpish mumkin. Hàqiqàtàn, t = Ò dà (3) dàn 0 2 0 m kt = m e - ni îlàmiz. Bundàn ln 2 T k = ; k ning tîpilgàn qiymàtini (3) gà qo`ysàk, u quyidàgi ko`rinishni îlàdi: ( ) 0 2 t m t m T - = × . Ìàsàlàn, ràdiy uchun T » 1550 yil. Shungà ko`rà k = ln 2 » , 1550 0 000447 . Ìilliîn yildàn kåyin ràdiyning bîshlàng`ich màssàsidàn 6 447 194 m(10 ) m0e 0,6 10 m0 » - » × - × qîlàdi. Êo`pginà àmàliy màsàlàlàr dàvriy jàràyonlàrni o`rgànishgà kålàdi. Ìàsàlàn, màtåmàtik màyatnik yoki tîrning hàràkàti, o`zgàruvchàn tîk, màgnit màydîn bilàn bîg`liq bo`lgàn jàràyonlàr. Bundày jàràyonlàr gàrmînik tåbrànishlàr dåyilàdi. Gàrmînik tåbrànishlàr y ²(t ) = w2 y (t ) (5) diffårånsiàl tånglàmàni yechishgà kåltirilàdi, bu yerdà w – bårilgàn musbàt sîn. Bu tånglàmàning yechimlàri y (t ) = A cos(wt + j) (6) ko`rinishdàgi funksiyalàrdàn ibîràt, A và j o`zgàrmàs sînlàr màsàlàning shàrtlàri bo`yichà àniqlànàdi. 273 Ìàsàlàn, àgàr y(t) erkin tåbrànàyotgàn tîr nuqtàsining t mîmåntdàgi muvîzànàt hîlàtidàn chåtlànishi bo`lsà, u hîldà y(t) = Acos(wt + j) bo`làdi, bu yerdà À – tåbrànish àmplitudàsi, w – chàstîtà, j – bîshlàng`ich fàzà. Gàrmînik tåbrànishlàrning gràfiklàri sinusîidà ko`rinishidà bo`làdi. Yuqîridà qàràlgàn misîllàr màzmunidà nuqtà kîîrdinàtàsidàn ibîràt x(t) kàbi nîmà’lum (izlànàyotgàn) funksiyalàr, ulàrning x ¢(t), x ¢¢(t) kàbi hîsilàlàri và t erkli o`zgàruvchilàr qàtnàshàdi. Dåmàk, ulàrdàn tuzilgàn tånglàmàlàr diffårånsiàl tånglàmàlàrdir. Òånglàmà tàrkibidàgi hîsilàning eng yuqîri tàrtibi shu tånglàmàning tàrtibi dåyilàdi. 2–5- misîllàrdà ikkinchi tàrtibli, 1, 6- misîllàrdà birinchi tàrtibli diffårånsiàl tånglàmàlàr qàràldi. Ìà s h q l à r 7.1. y = 3e-7x funksiya y ¢ = -7y tånglàmàni qànîàtlàntirishini isbîtlàng. 7.2. Òo`g`ri chiziqli hàràkàt qilàyotgàn jismning tåzligi v(t) = 3t - 2t 2 gà tång. Hàràkàt bîshlàngàndàn tî to`õtàgunchà o`tgàn yo`lni tîping. 7.3. Quyidàgilàrdàn qàysilàri diffårånsiàl tånglàmà và qàndày tàrtibli: 1) (y ¢)4 = y 3 + x - 3 ; 2) 3x 2 x y y - ¢= ; 3) tgy = sin x + 1 ; 4) y ¢¢ - 5y ¢ + 4 = cos x ? 7.4. Ìàssàsi m bo`lgàn mîddiy nuqtà îg`irlik kuchi tà’siridà erkin tushmîqdà. Hàvî qàrshiligini hisîbgà îlmàsdàn nuqtàning hàràkàt qînunini tîping. 7.5. Qàrshilik ko`rsàtuvchi muhitdà jismning erkin tushish diffårånsiàl tånglàmàsini tuzing, bundà muhitning qàrshiligi jism tåzligi kvàdràtigà prîpîrsiînàl. 7.6. y = F(x) egri chiziq A(0; 1) nuqtàdàn o`tib, uning hàr bir nuqtàsidàn o`tgàn urinmàning burchàk kîeffitsiyånti urinish nuqtàsining kîîrdinàtàlàri ko`pàytmàsining ikkilàngànigà tång. Shu egri chiziqni tîping. 2. Eng sîddà diffårånsiàl tånglàmàlàrni yechish. Diffårånsiàl tånglàmàning yechimi dåb, shu tånglàmàgà qo`yilgàndà uni àyniyatgà àylàntiruvchi iõtiyoriy funksiyagà àytilàdi. Yechimning 18 Àlgebra, II qism 274 gràfigi tånglàmàning intågràl egri chizig`i dåyilàdi. Biz 1-bànddà diffårånsiàl tånglàmàni chåksiz ko`p funksiyalàr qànîàtlàntirishi hàqidà fikr yuritgàn edik. Bu yechimlàr màjmuàsi umumiy yechim dåyilàdi. Umumiy yechimdàn birîrtàsini àjràtib ko`rsàtish uchun funksiyaning àrgumåntni birîrtà qiymàtigà mîs kålàdigàn qiymàtini ko`rsàtish lîzim, ya’ni x = x0 dà y = y0 bo`làdigàn shàrt bårilishi kåràk. Bu shàrt bîshlàng`ich shàrt dåyilàdi và y(x0) = y0 ko`rinishidà yozilàdi. Diffårånsiàl tånglàmàning bîshlàng`ich shàrtni qànîàtlàntiruvchi yechimi uning õususiy yechimi dåb àtàlàdi. 1-mi sîl . y ¢ = 1 diffårånsiàl tånglàmàning umumiy yechimi y = x + C funksiyadàn ibîràt, bundà C – iõtiyoriy sîn. Buni tåkshiràmiz. Y e c h i s h . y ¢ = (x + C ) ¢ = 1. Òîpilgàn nàtijà bårilgàn tånglàmàgà qo`yilsà, 1 = 1 àyniyat hîsil bo`làdi. C ning turli qiymàtlàrigà tånglàmàning turli õususiy yechimlàri mîs kålàdi. Ulàr kîîrdinàtàlàr tåkisligidà y = x bissåktrisàgà (C = 0 hîli) pàràllål to`g`ri chiziqlàr to`plàmini tàshkil etàdi (VII.1- ràsm). Umumàn, y ¢ = F(x) (1) ko`rinishdàgi tånglàmàlàr eng sîddà diffårånsiàl tånglàmàlàrdir. (1) tånglàmàni yechish uchun uni ( ) dy dx = f x ko`rinishgà, so`ngrà dy = f (x)dx ko`rinishgà kåltiràmiz. Endi tånglikning ikkàlà qismini intågràllàsàk ò dy = ò f (x )dx yoki y = ò f ( x )dx gà egà bo`làmiz. Àgàr F(x) funksiya f (x) funksiyaning bîshlàng`ich funksiyalàridàn biri bo`lsà, izlànàyotgàn umumiy yechim quyidàgi ko`rinishdà bo`làdi: y = ò f (x )dx = F (x ) +C . (2) Diffårånsiàl tånglàmàni yechish uni intågràllàsh dåyilàdi. Îdàtdà diffårånsiàl tånglàmàgà o`zgàrmàs C ni àniqlàydigàn Y O X y = x y = x + C VII.1-rasm. Y 3 2 1 -1 -2 -3 -2 -1 Î 1 2 X y = x2 + C y = x2 y = x2 - 3 VII.2-rasm. 275 bîshlàng`ich shàrtlàr qo`yilàdi. 2 -mi s î l . y ¢ = 2x diffårånsiàl tånglàmàning y(1) = -2 shàrtni qànîàtlàntiruvchi õususiy yechimini tîpàmiz. Ye c h i s h . Dàstlàb umumiy yechimini tîpàmiz: 2 2 2 2 , 2 2 x . dy xdx xdx C x C = ò = × + = + Bu yechim y = x 2 + C pàràbîlàlàr îilàsini ifîdàlàydi (VII.2- ràsm). C ni y(1) = -2 shàrtdàn fîydàlànib tîpàmiz: -2 = 12 + C, bundàn C = -3. Dåmàk, izlànàyotgàn õususiy yechim y = x 2 - 3 ekàn. y ¢ = F(x; y) ko`rinishdàgi diffårånsiàl tånglàmà hàm y ¢ = f (x) tånglàmà kàbi tàhlil qilinàdi. 3 -mi s î l . y x y¢= tånglàmàning umumiy yechimi y = Cx (C – iõtiyoriy dîimiy) funksiyadàn ibîràtligini tåkshiràmiz và (x = 1, y = 1), (x = 0, y = 0) qiymàtlàrgà mîs õususiy yechimlàrini tîpàmiz. Ye c h i sh . y = Cx và y ¢ = C ifîdàlàrni bårilgàn tånglàmàgà qo`ysàk, tånglàmà àyniyatgà àylànàdi: C = C. Dåmàk, y = Cx umumiy yechim. Õususiy yechimni tîpish uchun y = Cx gà îldin x = 1, y = 1 ni qo`yamiz: C = 1. Bungà mîs õususiy yechim y = x bo`làdi (VII.3-ràsm). Endi y = Cx gà x = 0, y = 0 ni qo`yamiz: 0 = C × 0. Bu tånglik C ning bittà emàs, bàlki hàr qàndày qiymàtidà bàjàrilàdi, ya’ni (0; 0) nuqtàdàn chåksiz ko`p y = Cx to`g`ri chiziqlàr o`tàdi (VII.3- ràsm). (0; 0) nuqtà y¢ =y x diffårånsiàl tånglàmàning màõsus nuqtàsidàn ibîràt. 4 -mi s î l . x y y¢= - tånglàmàni yechàmiz. Ye c h i sh . Òånglàmà ifîdàsi ustidà zàrur àlmàshtirishlàrni bàjàrib, yechimni tîpàmiz: , , , dy x dx y = - ydy = -xdx ò ydy = -ò xdx Y O X y = Ñx y = x VII.3-rasm. 276 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y = - x + C ¸êè y + x =C , C – iõtiyoriy sîn. Òånglàmàning intågràl chiziqlàri umumiy màrkàzi Î (0; 0) kîîrdinàtàlàr bîshidà jîylàshgàn kînsåntrik àylànàlàrdàn ibîràt (VII.4- ràsm). Bu hîldà Î(0; 0) nuqtà undàn birîrtà hàm àylànà (intågràl chiziq) o`tmàydigàn màõsus nuqtà. Dåmàk, yechim màrkàzi tåshilgàn nuqtà bo`lgàn àylànàlàr îilàsidàn ibîràt. Eng sîddà ikkinchi tàrtibli y ¢¢ = f (x) diffårånsiàl tånglàmà z = y ¢ và z ¢ = (y ¢)¢ = y ¢¢ àlmàshtirish îrqàli z ¢ = f (x) birinchi tàrtibli tånglàmà ko`rinishigà kåltirib yechilàdi: z = ò f (x )dx = F (x ) +C1 , bundà F funksiya f ning bîshlàng`ich funksiyalàridàn biri, C – iõtiyoriy sîn. y ¢ = z bo`lgàni uchun: y = ò (F (x ) +C1 )dx = F(x ) +C1x +C2 , bundà F funksiya F ning bîshlàng`ich funksiyalàridàn biri, C2 – ikkinchi iõtiyoriy sîn. 5 -mi s î l . y ¢¢ = x 2 tånglàmàni yechàmiz. Ye c h i sh . Bårilgàn tånglàmà ikki màrtà intågràllànàdi: x x x x y y dx x dx C y C dx C x C C x C 2 3 1 3 4 4 1 1 2 1 2 . 3 3 3 4 12 , × ¢ = ¢ = = + = æ + ö = + + = + + ç ÷ è ø ò ò ò Birinchi tàrtibli tånglàmàning umumiy yechimidà bittà, ikkinchi tàrtibli tånglàmàdà esà ikkità iõtiyoriy o`zgàrmàs qàtnàshàyotgànini ko`rdik. Umumàn, n-tàrtibli diffårånsiàl tånglàmàning yechimi n tà iõtiyoriy sîngà bîg`liq bo`làdi. 6 -mi s î l . Ìîddiy nuqtà a(t) = 10 m/min2 tåzlànish bilàn to`g`ri chiziqli hàràkàt qilmîqdà. t = 3 min dà S = 52 m màsîfàni o`tgàn và 47 m/min tåzlikkà erishgàn. Hàràkàt tånglàmàsini tuzàmiz. Ye c h i sh . Òåzlikni x ¢(t), tåzlànishni x ¢¢(t) îrqàli bålgilàylik. Quyidàgilàrni hîsil qilàmiz: Y O X y2 + x2 = C2 VII.4-rasm. 277 x¢ = v = ò x¢dt = ò10dt =10t +C1 = 47 và t = 3 dà 10 × 3 + C1 = 47, bundàn Ñ1 = 17; S x x dt t C dt t 2 t C = = ò ¢ = ò (10 + 1 ) = 5 +17 + 2 , 5 × 32 + 17 × 3 + C2 = 52, Ñ2 = -44. Izlànàyotgàn tånglàmà: x = 5t 2 + 17t - 44. 7 -mi s î l . x ¢¢(t) + w2(t)x = 0, bundà 2 ( ) k m w t = , diffårånsiàl tånglàmàning yechimi x = C1coswt + C2sinwt ko`rinishdà ifîdàlànishini ko`rsàtàmiz, bundà C1 và C2 – iõtiyoriy o`zgàrmàslàr, và x(0) = x0, x ¢(0) = v0 shàrtlàrni qànîàtlàntiruvchi õususiy yechimni tîpàmiz. Ye chi s h . x yechim ifîdàsi bo`yichà x ¢ = -C1wsinwt + C2wcoswt và x ¢¢ = -C1w2coswt - C2w2sinwt hîsilàlàrni tîpib, bårilgàn tånglàmàgà qo`yilsà, ushbu àyniyat hîsil bo`làdi: - C1w2coswt - C2w2sinwt + w2(Ñ1cosw2 + Ñ2sinwt) = 0. Endi t = 0 bo`lgàn hîlgà mîs õususiy yechimni tîpàmiz: x(0) = C1cos0 + C2sin0, C1 = x0, x ¢(0) = -C1wsin0 + C2wcos0 = C2w = v2, 0 2 v C w = . U hîldà umumiy yechim munîsàbàti bo`yichà: x x t 0 t 0 cos sin w = w+ w v . Ìà s h q l à r 7.7. f funksiya ko`rsàtilgàn diffårånsiàl tånglàmàning yechimi bo`lishini tåkshiring: 1) 5 2 4 3 1 1 2 3 x , x x x y ¢ = - f = + +C ; 2) xy ¢ - 2 y = 2 x 4 , f =Cx 2 + x 4 ; 3) y ¢ = 1 + cos y , f = 2arctg( x +C ) ; 4) 2 2 2 4 2 2 (x + y )y ¢ = 2xy, f = C± C + x ; 278 5) 4 3 1 3( ) , x C y y f + ¢= = - . 7.8. C1, C2, C3 ning iõtiyoriy qiymàtlàridà F funksiya quyidàgi diffårånsiàl tånglàmàning yechimi bo`lishini isbît qiling: 1) y ¢¢¢ = 2(y ¢¢ - 1)ctgx, 2F(x) = C1cos2x + x2 + C2x + C3; 2) (y ¢¢)2 + y ¢ = xy ¢¢, 2 2 1 2 1 2 y =C x -C x +C . 7.9. (3 - x)y 5 = 8(x + 2) funksiya yy ¢¢ = 0,4(x + 2)(y ¢)2 diffårånsiàl tånglàmàni và y(2) = 32, y ¢(2) = 40 bîshlàng`ich shàrtlàrni qànîàtlàntirishini tåkshiring. 7.10. y(x + 2) = -x - 6 funksiya 2y ¢¢¢ - 3(y ¢)2 = 0 diffårånsiàl tånglàmàni và y(0) = -31, y ¢(0) = 1, y ¢¢(0) = -1 bîshlàng`ich shàrtlàrni qànîàtlàntirishini tåkshiring. 7.11. Jism x ¢¢(t) = 2 tånglàmà bo`yichà to`g`ri chiziqli hàràkàt qilmîqdà. Òånglàmàning umumiy yechimini và x(2) = 6, x ¢(2) = 4 bîshlàng`ich shàrtlàrni qànîàtlàntiruvchi õususiy yechimini tîping. 2-§. Birinchi tàrtibli îddiy diffårånsiàl tånglàmàlàr 1. O`zgàruvchilàri àjràlàdigàn tånglàmàlàr. Àgàr diffårånsiàl tånglàmà y ¢ = j(x)y(y) (1) ko`rinishdà, ya’ni chàp qismidà y ¢ hîsilà, o`ng qismidà biri x gà, ikkinchisi y gà bîg`liq bo`lgàn ikki funksiyaning ko`pàytmàsi turgàn bo`lsà, bundày diffårånsiàl tånglàmàni yechishdà x và y gà bîg`liq ifîdàlàr bir-birlàridàn àjràtilàdi. Ikki hîl uchràydi: 1) àgàr y = y0 dà y(y0) = 0 bo`lsà, y0 – yechimlàrdàn biri bo`làdi. Hàqiqàtàn, y0 o`zgàrmàs sînligidàn (y0)¢ = 0 và j(x) × y(y0) = = j(x) × 0 = 0, ya’ni (1) tånglàmà 0 = 0 dàn ibîràt àyniyatgà àylànàdi; 2 )y(y) ¹ 0 bo`lgàn sîhàdà (1) munîsàbàt ( ) ( ) dy dx = j x y y yoki ( ) ( ) dy y x dx y = j ko`rinishgà kålàdi và ( ) ( ) dy y x dx y ò = ò j (2) intågràl îlinàdi. Dåmàk, y(y) ¹ 0 dà (1) diffårånsiàl tånglàmà (2) munîsàbàtni qànîàtlàntiruvchi yechimgà egà. Shuningdåk, 279 y(y0) = 0 ni qànîàtlàntiruvchi y = y0 funksiyalàr hàm (1) tånglàmàning yechimlàri bo`làdi. Ìi s î l . y ¢ = (1 + y 2)(x + 1) diffårånsiàl tånglàmàning umumiy yechimini và y(0) = 1 bîshlàng`ich shàrtni qànîàtlàntiruvchi õususiy yechimini tîpàmiz. Ye chi s h . 1 + y 2 funksiya håch qàndày y0 dà nîlgà àylànmàydi. Òånglàmàdàgi o`zgàruvchilàrni àjràtàmiz, so`ng intågràllàshni bàjàràmiz: 2 2 2 2 2 1 1 2 2 (1 )( 1), ( 1) , (1 ) , arctg , tg , dy dy dy dx y y x x y x x dx x dx y x C y x C + + = + + = + = + = + + = æ + + ö ç ÷ è ø ò ò bundà C iõtiyoriy sîn ( ) 2 2 - p ; p îràliqdàn îlinàdi (àrgumåntgà p ning qo`shilishi tàngåns qiymàtini o`zgàrtirmàydi). Õususiy yechimni tîpish uchun îldin C ni tîpish màqsàdidà umumiy yechimgà x = 0, y = 1 làrni qo`yib, arctg1 = C yoki 4 C = p ni îlàmiz, so`ng C = p 4 ni umumiy yechimgà qo`yamiz: 2 2 4 y = tg æç x + x + p ö÷ è ø . Ìà s h q l à r 7.12. Diffårånsiàl tånglàmàlàrni yeching: 1) y ¢ = 9 + y 2 ; 2) y ¢ = xy 3 ; 3) 1 1 y x y + - ¢ = - ; 4) 4 cos 5 x y y ¢ = ; 5) y ¢ = x 5 1 - y 2 ; 6) 1 - x 2 × y ¢ = 2 y . 7.13. y ¢ = x 3y 2 diffårånsiàl tånglàmàning y(1) = 2 bîshlàng`ich shàrtni qànîàtlàntiruvchi yechimini tîping. 7.14. Diffårånsiàl tånglàmàlàrni yeching: 1) y 3y ¢¢ = 1; 2) y ¢¢ = 2yy ¢. 2. Birinchi tàrtibli chiziqli diffårånsiàl tånglàmàlàr. d ( ) ( ) dx + a x y = b x (1) ko`rinishdàgi tånglàmàlàr birinchi tàrtibli chiziqli diffårånsiàl tånglàmàlàr dåyilàdi. Bu tånglàmàlàrni yechishning bir nåchà usullàri màvjud. Biz quyidà iõtiyoriy o`zgàrmàsni vàriàtsiyalàsh usuli (Làgrànj usuli) bilàn tànishàmiz. 280 Buning uchun (1) tånglàmàdàgi b(x) = 0 bo`lgàn quyidàgi ( ) 0 dy dx + a x y = bir jinsli tånglàmàni qàràymiz. Bu tånglàmàni yechish uchun uni quyidàgi ko`rinishdà yozib îlàmiz: ( ) dy y = -a x dx . Bundàn bir jinsli tånglàmàning umumiy yechimi y =Ce -ò a( x )dx bo`làdi. Bårilgàn (1) tånglàmàning umumiy yechimini tîpish uchun C ni C(x) dåb hisîblàb, y =C(x )e - ò a( x )dx (2) dàn y ¢ ni tîpàmiz: y ¢ =C ¢(x )e - ò a( x )dx -C( x )e - ò a( x )dx × a(x ) . C(x) ni tîpish uchun y và y ¢ ni tîpilgàn ifîdàlàrini (1) gà qo`yib, C(x) gà nisbàtàn quyidàgi tånglàmàgà egà bo`làmiz: C ¢(x ) = b(x )e ò a( x )dx . Bundàn C(x ) =C + ò b(x )e ò a( x )dx , (3) bu yerdà C – iõtiyoriy o`zgàrmàs. (3) munîsàbàtdàgi C(x) ni (2) gà qo`yib, (1) tånglàmàning umumiy yechimini tîpàmiz: ( ) ( ) ( ) y = e - ò a x dx éC + b x e ò a x dx dxù êë ò úû . (4) (1) tånglàmàning y (x0 ) = y0 bîshlàng`ich shàrtni qànîàtlàntiruvchi õususiy yechimi quyidàgi ko`rinishdà bo`làdi: x x a t dt x a t dt x x y e 0 y b e d 0 ( ) ( ) 0 ( ) - t ò ò = + ò t t . (5) 1 -mi s î l . 1 2 y ¢ + y cos x = sin 2x tånglàmàni yechàmiz. Ye chi s h . Bårilgàn tånglàmàdà 1 2 a(x) = cos x, b(x) = sin 2x . y ¢ + y cos x = 0 tånglàmàning umumiy yechimini tîpàmiz: 281 dy dx = -y sin x yoki dy dx = - cos xdx . Bundàn ln y = - sin x + lnC, y =Ce - sin x . Òîpilgàn umumiy yechimdàn C = C(x) dåb hisîblàb, uning hîsilàsini tîpàmiz: y ¢ =C ¢( x )e - sin x -C( x )e - sin x cos x . y ¢ và y =C( x )e - sin x ifîdàlàrni bårilgàn tånglàmàgà qo`ysàk, C ¢(x ) = e sin x sin x cos x ni îlàmiz. Bundàn sin sin sin ( ) sin cos sin 1 C x = ò e x x xdx = x × e x - e x +C . C(x) ning tîpilgàn qiymàtini y =C( x )e - sin x ifîdàgà qo`ysàk, chiziqli tånglàmàning umumiy yechimi quyidàgichà bo`làdi: sin sin sin (sin 1) 1 sin 1 1 y = ée x x - +C ù × e - x = x - +C × e - x ë û . 2 -mi sîl . 2 y ¢ - 2 xy = e x tånglàmàni yechàmiz. Y e c h i s h . Òånglàmàni yechishdà (4) fîrmulàdàn fîydàlànàmiz. a(x) = -2x, 2 b(x ) = e x bo`lgànligi uchun bårilgàn tånglàmàning umumiy yechimi quyidàgichà tîpilàdi: 2 2 2 2 2 2 2 ( 2) 2 1 ( ) . x dx x xdx x x x x x x x y e C e e dx e C e e dx e C dx e C x C e C x x C e - é - ù é - ù ê ú ê ú êë úû êë úû é ù é ù ë û ë û = ò + × ò = + × = = + = + + = + = + × ò ò ò Ìà s h q l à r 7.15. Diffårånsiàl tånglàmàlàrning umumiy yechimini tîping: 1) y x y ¢ + = x ; 2) xy ¢ - 3y = - x 2 ; 3) sin cos 1 y x y ¢ - = x - . 7.16. 1 cos tg x y ¢ - y x = diffårånsiàl tånglàmàning y (0) = 1 shàrtni qànîàtlàntiràdigàn õususiy yechimini tîping. 7.17. 1 y x xy x + ¢ - = diffårånsiàl tånglàmàning y (0) = 1 shàrtni qànîàtlàntiràdigàn õususiy yechimini tîping.